Happy Pi Day

Εικόνες με το π

 

 

 

 

Χρονολόγιο του π (γ' μέρος) Το κυνήγι των ψηφίων

Ευρώπη 13ος αι. –15ος αι. μ. Χ.

 

Μεσαίωνας

 

Στην Ευρώπη η πρώτη χιλιετία μετά Χριστό αποτέλεσε εποχή σκοταδισμού. Επρόκειτο για μια περίοδο γεμάτη πολέμους και διαμάχες που ακολούθησαν μετά την κατάρρευση της Ρωμαϊκής αυτοκρατορίας και την επικράτηση του Χριστιανισμού. Στις αρχές της δεύτερης χιλιετίας, ευρωπαϊκά κείμενα που είχαν διασωθεί στα αραβικά, άρχισαν να επιστρέφουν στην Ευρώπη από τη Μέση Ανατολή. Αυτή η τάση ενισχύθηκε αφενός χάρη στο πρωτοεμφανιζόμενο ενδιαφέρον της Ευρώπης για τα μαθηματικά και αφ’ ετέρου χάρη σε κάποιες πλατιά διαδεδομένες αντιλήψεις βασισμένες στη αστρολογία που προκάλεσαν δίψα για μάθηση στο χώρο της αστρονομίας.Το ενδιαφέρον ώθησε στρατιώτες, κληρικούς και εμπόρουςν α συλλέξουν γνώσεις από τη Μέση Ανατολή και να τις μεταφέρουν στη Δύση.

Σε ότι αφορά το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, όλες οι προσπάθειες από εδώ και στο εξής γίνονται προς την κατεύθυνση που χάραξε ο Αρχιμήδης. Δηλαδή εγκαταλείπεται η προσπάθεια τετραγωνισμού με κανόνα και διαβήτη και στρέφονται προς τον υπολογισμό του π με όσο τοδυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια.

 

Leonardo Pisano ή πιο γνωστός ως Fibonacci ( 1175 – 1230 μ. X.)

Είναι ο πρώτος μαθηματικός έργα του οποίου εμφανίζονται στην Ευρώπη. Σε ότι αφορά τη συνεισφορά του στον υπολογισμό του π, χρησιμοποίησε ένα κανονικό 96 – γωνο κατά αναλογία με τον Αρχιμήδη, με τη διαφορά ότι ο Leonardo μπορούσε να υπολογίσει τις τετραγωνικές ρίζες με το νέο αριθμητικό σύστημα. Η τιμή του π που κατέληξε είναι, π = 864 ÷ 275 = 3,141818, η οποία έχει τρία δεκαδικά ψηφία σωστά. Η τιμή αυτή είναι μόνο κατά 0,0001 ακριβέστερη από εκείνη του Αρχιμήδη.

 

Ο Gerbert ή πιο γνωστός ως πάπας Συλβέστρος, χρησιμοποιούσε την Αρχιμήδεια τιμή π =22/7.

 

Για τα επόμενα 400 χρόνια όμως συναντούμε εκτός αυτής της τιμής, τη βαβυλωνιακή 3 1/8. Κατά τη διάρκεια του μεσαίωνα δεν υπήρξαν σημαντικές τροποποιήσεις σε ότι αφορά το π, αλλά και τα μαθηματικά γενικότερα είχαν πολύ χαμηλό επίπεδο. Για παράδειγμα , ο Franco von Lutich  έγραψε μια πραγματεία για τον τετραγωνισμό του κύκλου (~1040 μ. Χ. ) στην οποία έκανε λάθος στον τετραγωνισμό του ορθογωνίου.

Ίσως η πιο αξιόλογη προσπάθεια αυτής της περιόδου, είναι αυτή του καρδινάλιου Nicolaus Cusanus (1401-1464 μ. Χ.), ενός γερμανού που έζησε στη Ρώμη από το 1448 μέχρι το θάνατό του. Αν και η συνεισφορά του σε ότι αφορά το π δεν ήταν και πολύ επιτυχημένη και προσπαθούσε να ερμηνεύει θεολογικά τα επιστημονικά ζητήματα,κατάφερε να ανακαλύψει μια καλή προσέγγιση για τον υπολογισμό του μήκους κυκλικού τόξου.

 

Ευρώπη 16ος– 17ος αιώνας

 

Αναγέννηση

 

Με το τέλος των μεσαιωνικών χρόνων η Ευρώπη άρχιζε να κερδίζει το χαμένο έδαφος σε τέτοιο βαθμό, ώστε ήδη από το 17ο αι. μ. Χ. οι επιστημονικές εξελίξεις άφησαν πολύ πίσω τον υπόλοιπο κόσμο. Σε ότι αφορά την ιστορία του π κατά την περίοδο της Αναγέννησης, η πρόοδος που υπήρξε ήταν κυρίως σε ότι αφορά την ακρίβεια των δεκαδικών ψηφίων.

 

Albrecht Dürer (1471-1528 μ. Χ.).

Είναι ένας ερασιτέχνης μαθηματικός της Αναγέννησης, ο οποίος ασχολήθηκε με τον τετραγωνισμό του κύκλου, αν και δεν συνέβαλε στον υπολογισμό του π. Το 1525, χρησιμοποιεί την βαβυλώνια τιμή για το π, π = 3 1/8.

François Viéte (1540 – 1603 μ.Χ.)

Η σημαντικότερη πρόοδος σε ότι αφορά τον υπολογισμό του π, επήλθε από έναν ερασιτέχνη μαθηματικό, καθώς το επάγγελμά του ήταν δικηγόρος. Για τον υπολογισμό του π βασίστηκε στην Αρχιμήδεια μέθοδο, κάνοντας κάποιες αλλαγές, και κατέληξε στην ακριβέστερη μέχρι τότε τιμή του π. Το πραγματικό του επίτευγμα όμως είναι ότι για πρώτη φορά περιέγραψε το π ως άπειρο γινόμενο. Η συμβολή του Viéte, στον υπολογισμό του π είναι μια από τις σημαντικότερες της ιστορίας του π, αλλά είναι και εξέχουσας σημασίας καθώς συνδέεται με την αφύπνιση της μαθηματικής επιστήμης στα χρόνια της αναγέννησης.

 

17ος - 18ος αιώνας

 

Τα τριακόσια χρόνια από το τέλος της Αναγέννησης μέχρι τη Βικτοριανή εποχή ήταν μια εξαιρετική περίοδος για τα μαθηματικά. Την εποχή αυτή εμφανίστηκαν κάποιοι από τους πιο χαρισματικούς μαθηματικούς της δεύτερης χιλιετίας, ο καθένας προετοιμάζοντας το έδαφος για τον επόμενο, ώστε να επέλθει η επανάσταση στα μαθηματικά και στην επιστημονική σκέψη γενικότερα. Η εξέλιξη των μαθηματικών όπως είναι φυσικό έμελλε να επηρεάσει και την έρευνα και τη μελέτη του π.

 

Ασία

 

Μέχρι και τις αρχές του 17ου  αιώνα χρησιμοποιούσαν για το π την τιμή ρίζα 10 και στις δύο χώρες, η οποία πιθανότατα να ήταν περισσότερο ιδεατή παρά ρεαλιστική. Άλλωστε, όπως προαναφέρθηκε, ο Tsu Chung Chih και ο γιος του Tsu Keng-Chih είχαν υπολογίσει την ακριβέστερη τιμή για το π, 355/113 από τον 5ο αιώνα μ. Χ.. Ωστόσο το 1663 μ. Χ. ο Μουραμάτσου Σιγκεκίγιο δημοσίευσε στην Ιαπωνία το έργο του Σάνσο, όπου περιέγραφε το πώς υπολογίζεται κατά προσέγγιση η περιφέρεια του κύκλου χρησιμοποιώντας ένα εγγεγραμμένο πολύγωνο. Το ότι εξηγούσε τον τρόπο που έκανε τους υπολογισμούςτου ήταν κάτι εξαιρετικά ασυνήθιστο για την Ιαπωνία, σε αντίθεση με την Ευρώπη. Επιπλέον, αν και είχε υπολογίσει με ακρίβεια 7 δεκαδικά ψηφία του π, δεν ήταν εντελώς σίγουρος για τα αποτελέσματά του και ανέφερε ότι το π ήταν περίπου 3,14. Το 1712 ο Σέκι Κόουα υπολόγισε με ακρίβεια 16 ψηφία και το 1722 ο Tαkebe Hikojirō Kenkō (1664 –1739 μ.Χ.),υπολόγισε 41 ψηφία, καθώς επίσης σειρές και συνεχή κλάσματα για το π.

Στην Κίνα τα πράγματα είχαν διαφορετική εξέλιξη, αφού ύστερα από τις ακριβείς μετρήσεις του Tsu Chung Chih ακολούθησε πλήθος από ανακριβείς τιμές. Στα μέσα του 17ου αιώνα ο Τσ’εν Τσιν Μο έγραψε ότι το π ήταν ακριβώς 3,15025 χωρίς να εξηγεί το πώς το υπολόγισε. Διακόσια χρόνια μετά ο Κ’ου Τσ’ανγκ Φα έγραψε το έργο Πραγματική Μελέτη της Μέτρησης Κύκλου στο οποίο υποστήριξε ότι η ακριβής τιμή του π είναι 3,125.

 

 

 Ευρώπη

 

John Wallis (1616-1703 μ.Χ.)

 Κατάφερε το 1655 στο έργο του Arithmetica infinitorum να εξαγάγει τον τύπο π/2=2*2*4*4*6*6 .../1*3*3*5*5*7 ... . Ο τύπος αυτός φέρει το όνομά του και αποτελεί πολύ σημαντική συμβολή στην ιστορία του π. Ο τύπος αυτός είναι ένα άπειρο γινόμενο και περιλαμβάνει πράξεις μόνο με ρητούς αριθμούς χωρίς πολύπλοκες τετραγωνικές ρίζες.

 

Viscount Brouncker (1620-1684 μ. Χ.)

Υπολόγισε μια τιμή για το π με τη βοήθεια συνεχών κλασμάτων. Ο τύπος του είναι ισοδύναμος με τον τύπο του Wallis. Για το πώς ο Brouncker κατέληξε σε αυτόν τον τύπο μπορούν να γίνουν διάφορες εικασίες.Ο Wallis απέδειξε ότι είναι ισοδύναμο με τον δικό του τύπο αλλά η απόδειξή του ήταν πολύ πολύπλοκη, και άρα μάλλον δεν ήταν αυτός ο τρόπος που κατέληξε στον τύπο αυτό ο Brouncker.

 

Isaac Newton (1642-1727)

Ο Newton είναι φημισμένος για την ευφυΐα του και για τα σπουδαία επιτεύγματά του. Το μεγαλείο αυτού του επιστήμονα δεν θα μπορούσε να αφήσει ανέπαφο και τον υπολογισμό του π, ο οποίος ήταν πολύ απλό έργο για εκείνον. Ο Newton ήταν σε θέση να υπολογίσει 16 δεκαδικά ψηφία του π. Βέβαια ο Newton μάλλον τυχαία κατέληξε στον τύπο για το π, ενώ υπολόγιζε κάτι άλλο. Ο ίδιος ομολογεί ότι υπολόγισε αρκετά ψηφία κατά τα χρόνια της πανούκλας 1665-6, στο Woolsthorpe, μην έχοντας άλλη ενασχόληση για να γεμίσει το χρόνο του.

 

Και το κυνήγι ξεκινάει:

John Machin (1680-1752 μ. Χ.)      =>     100 δεκαδικά ψηφία

De Lagny (1660-1734 μ.Χ.)             =>    127 δεκαδικά ψηφία (112 σωστά)

Georg Vega (1754-1802 μ.Χ.)         =>    140 δεκαδικά ψηφία (136 σωστά)

Leonhard Euler (1707-1783 μ. Χ.) 

Σε ότι αφορά την αριθμητική προσέγγιση του π, ο Εuler ήταν αυτός που το προσέγγισε με την γρηγορότερη και την αποδοτικότερη μέθοδο. Κατάφερε να υπολογίσει 20 δεκαδικά ψηφία του π, στη διάρκεια μιας ώρας. Ήταν τέτοιο το βάθος στο οποίο προσέγγισε το πρόβλημα του υπολογισμού του π, ώστε κανένας μετά από αυτόν δεν κατάφερε να βρει κάποιον αποτελεσματικότερο τρόπο για να προσεγγίσει την τιμή του.

Στην πορεία πολλοί μαθηματικοί είτε άμεσα χρησιμοποιώντας νέες ή παλιές μεθόδους είτε έμμεσα μέσα από τη λύση άλλων προβλημάτων προχωρούσαν όλο και πιο πολύ, έβρισκαν όλο και περισσότερα ψηφία. Μέχρι που....

 

ENIAC(Electronic Numerical Integrator and Computer) (1947-1955)

Ο πρώτος μεγάλης κλίμακας επαναπρογραμματιζόμενος υπολογιστής είναι γεγονός. Ενώ μέχρι τώρα οι κυνηγοί παλεύουν για μερικές δεκάδες και μερικές εκατοντάδες ψηφία. Τώρα ο αγώνας δρόμου συνεχίζεται αναζητώντας και υπολογίζιντας τα ψηφία ανά χιλιάδες. Ο ENIAC (1949) υπολόγισε 2.037 ψηφία του π σε 70 ώρες, χρόνος που για τα σημερινά δεδομένα είναι ιδιαίτερα μεγάλος.

NORC (1955)       =>   3.089  ψηφία   =>   13 λεπτά

Pegasus (1957)     =>   10.021 ψηφία  =>   33 ώρες (7.480 σωστά)

IBM 404 (1958)    =>  10.000 ψηφία  =>   1 ώρα 40 λεπτά

IBM 704 (1959)    =>  16.167 ψηφία  =>   4 ώρες 30 λεπτά

ΙΒΜ 7090 (1961)  =>  20.000 ψηφία  =>   39 λεπτά

ΙΒΜ 7090(1961)   =>  100.265 ψηφία =>   8 ώρες 43 λεπτά

 

Και πάει λέγοντας... Από τότε μέχρι σήμερα υπολογίζουμε όλο και περισσότερα ψηφία του π. Ο υπολογισμός τους αποτελεί πλέον μέσο αξιοπιστίας ενός υπολογιστή. Έχουν υπολογίσει τουλάχιστον 1,24 τρισεκατομμύρια , αριθμό πολύ μικρό από τη στιγμή που έχει αποδειχτεί πως αυτά είναι άπειρα. Ουσιαστικά,  υπολογίζουμε τα ψηφία του γιατί δεν υπάρχει κανένας άλλος τρόπος να το προσεγγίσουμε. Η προσπάθεια αυτή ξεκίνησε από τους αρχαίους Βαβυλώνιους και συνεχιζεται στο σήμερα, μέσα σε μια κοινωνία που τρέχει με χίλια αλλά το αποτελέσμα είναι ίδιο. Το π παραμένει μια διαχωριστική γραμμή ανάμεσα στην ανθρώπινη, φθαρτή και ατελή φύση και στην τελειότητα της Φύσης, ανάμεσα σε αυτό που μπορεί να ειπωθεί από στόματα θνητών και σε αυτό που θα μείνει για πάντα άρρητο.

Βιβλιογραφία:
Μεταπτυχιακή εργασία Παρασκευής Αρώνη
www.wikipedia.gr

Χρονολόγιο του π (β'μέρος) Το π στην Ανατολή

Κίνα

Από το 12ο π.Χ. αι. χρησιμοποιούσαν στους υπολογισμούς τους την τιμή π = 3, την οποία θεωρούσαν ικανοποιητική μέχρι τον 1ο μ. Χ. αι..

Liu Hsiao (1ος αιώνας π.Χ.)

Xρησιμοποίησε την τιμή π = 3,1547. Δυστυχώς δεν υπάρχουν στοιχεία για τη μέθοδο που χρησιμοποίησε για να φτάσει στο αποτέλεσμα αυτό. 

Ch’ang Höng ( 78 – 139 μ. Χ.)

Ήταν υπουργός και αστρολόγος του αυτοκράτορα Αν-Τι στις αρχές του 2ου μ. Χ. αιώνα. Είχε αποδείξει την πρόταση «το τετράγωνο του λόγου της περιφέρειας κύκλου προς την περίμετρο του τετραγώνου που είναι περιγεγραμμένο στον κύκλο είναι όπως το 5 προς το 8». Η τιμή αυτή παρέμεινε αρκετά διαδεδομένη στην Ασία για πολλά χρόνια ακόμα, αν και ήταν αρκετά ανακριβής.

Wang Fan ( 219 – 257 μ.Χ.)

Ήταν ένας καλός αστρονόμος και ότι μετρώντας τον κύκλο κατέληξε στο συμπέρασμα «όταν μια περιφέρεια κύκλου έχει μήκος 142, τότε η διάμετρόςτου είναι 45». Αν και δεν είναι απολύτως σαφές το πώς κατέληξε σε αυτήν την τιμή η διαίρεση μας δίνει την τιμή π = 3,156 .

Liu Hui (3ο αιώνας μ. Χ.)

Ο πρώτος κινέζος μαθηματικός που ασχολήθηκε συστηματικά με τον υπολογισμό της τιμής του π. Δίνει τις δύο βελτιωμένες τιμές για το π, π=157/50=3,14 και π=3927/1250=3,1416. 

Tsu Ch’ung Chih (430-501 μ.Χ.)

Tsu Cheng-Chih

Τον 5ο αι. μ. Χ. ο Κινέζος αστρονόμος και ο γιος του, προσέγγισαν το π με τα όρια 3,1415926 <π < 3,1415927. Η τιμή αυτή αποκλίνει μόνο 8 εκατομμυριοστά από την αποδεκτή πλέον τιμή του π = 3,14159265… Πατέρας και γιος πέτυχαν τον ακριβέστερο υπολογισμό του π στον κόσμο και έμελλε να περάσουν περισσότερα από χίλια χρόνια για να υπολογιστεί το π με μεγαλύτερη ακρίβεια.

Ινδία

Σύμφωνα με τον Thibaut οι Ινδοί μαθηματικοί μέχρι και το 19ο αι. δεν αναφέρονται σε καμιά προσπάθεια τετραγωνισμού του κύκλου. Μέσα στο Sulva Sutra περιέχεται ένας κανόνας που αναφέρεται στον τρόπο κατασκευής κύκλου ισοδύναμου με ένα δοσμένο τετράγωνο.

Αυτή η ενδιαφέρουσα μαθηματική πρόταση , ήταν η εξής:

«Πρόσθεσε στο 1/2 της πλευράς του τετραγώνου το 1/3 της διαφοράς μεταξύ του 1/2 της διαγωνίου και του 1/2 της πλευράς και θα έχεις την ακτίνα του κύκλου ίσου εμβαδού».

Από αυτήν προκύπτει η τιμή για το π, π = 3,0884 η οποία απέχει αρκετά από άλλες προσεγγίσεις και δεν συναντάται σε άλλο μεταγενέστερο ινδικό κείμενο.

 

Υπάρχουν ακόμα τρεις κανόνες που οδηγούν σε διαφορετικές τιμές του π. Ο ένας είναι:

«Η διάμετρος d του κύκλου του ισοδύναμου προς το τετράγωνο πλευράς α είναι τα 8/10 της διαγωνίου του τετραγώνου», το οποίο υποδηλώνει την τιμή π = 3,125 .

Επιπλέον οι κανόνες: «η πλευρά α του τετραγώνου του ισοδύναμου προς τον κύκλο διαμέτρου d είναι τα 7/8 του d » και «η πλευρά α του τετραγώνου του ισοδύναμου  προς τον κύκλο διαμέτρου d είναι τα 13/15 του d», υποδηλώνουν τις τιμές π = 3,125 και π = 3,0044.

Άλλες άμεσες πηγές που έχουμε σε ότι αφορά τα ινδικά μαθηματικά είναι το έργο Siddhanta ή σε ελληνική μετάφραση οι Σιδχάντα. Σε αυτήν την έκδοση δίνεται για το π η τιμή  π = ρίζα 10 την οποία χρησιμοποιούσαν συστηματικά οι Αιγύπτιοι.

Στην έκδοση Surya Siddhanta, η οποία είναι έργο έμμετρο, διασώζεται κατάτο μεγαλύτερο μέρος της και χρονολογείται τον 5ο αι., χρησιμοποιείται η τιμή π = 600/191 ≈ 3,14136. Σε άλλα σημεία της χρησιμοποιείται η τιμή π = 3 177/1250 ≈ 3,1416.

Άλλο ινδικό έργο μαθηματικού περιεχομένου είναι του μαθηματικού και αστρονόμου Aryabhata (5ος– 6ος αι. μ. Χ.). Το έργο αυτό φέρει τον τίτλο Aryabhatiya και γράφτηκε το 499 μ.Χ.. Δίνει την τιμή για το π, π=16/9. Μεταγενέστερος του Aryabhata, είναι ο μαθηματικός και αστρονόμος Brahmagupta (γεννήθηκε το 598 μ.Χ.). Στα έργα του χρησιμοποιεί τις τιμές  π = 22/7 , π = 3,1416.

 

Αραβία

Από τους πιο σημαντικούς Άραβες μαθηματικούς είναι ο Muhammed ibn Musaή πιο γνωστός ως Al Khowarizmi( ~ 9οςαι. μ. Χ). Δεν είναι ξεκάθαρο αν όντως προσπάθησε να υπολογίσει το λόγο της περιφέρειας προς τη διάμετρο, αλλά είναι πολύ πιθανό να το έκανε. Στα έργα του χρησιμοποιεί για το π τις τιμές 3 1/7, 62.832/20.000 αποδίδοντας την πρώτη τιμή στους Έλληνες και την άλλη σε Ινδούς μαθηματικούς.Τις ίδιες τιμές για το π πρέπει να χρησιμοποιούσαν και οι μαθηματικοί Tabit ibn Qurra (826 – 901 μ. Χ.), γνωστός από τη διάσωση της πραγματείας του Αρχιμήδη Περί του ''επταγώνου'', και ο Πέρσης μαθηματικός Al Birouni (973 – 1048 μ. Χ.).

Ο αστρονόμος Al Kashi ( ~ 1430 μ. Χ.), του αστεροσκοπείου της Σαμαρκάνδης, σε ειδική μελέτη για την περιφέρεια του κύκλου, δίνει για το π την τιμή π = 3,14159265358988732 , η οποία έχει λάθος στο 13ο και 14ο  ψηφίο, το οποίο πιθανώς να οφείλεται σε λάθος κατά την αντιγραφή.

 

Πηγές:

Διπλωματική Εργασία Παρασκευής Αρώνη

  

Pi photos